2008-03-13


العدد العقدي أو العدد المركب هو أي عدد على الصورة: a+bi, حيث أن a و b هما عددان حقيقيان و i هو عدد تخيلي مربعه = -1. و يسمي العدد الحقيقي a بالجزء الحقيقي و العدد الحقيقي b بالجزء التخيلي. فمثلا، 3 + 2i هو عدد عقدي، فيه 3 هو الجزء الحقيقي، و 2 هو الجزء التخيلي.
و عندما يكون b (أي الجزء التخيلي) = 0، فإن قيمة العدد العقدي تساوي قيمة الجزء الحقيقي a فقط و سمي العدد عددًا حقيقيـًا صرفًا Purely real. و عندما يكون a (أي الجزء الحقيقي) = 0، كان العدد تخيليـًا صرفـًا Purely imaginary.
من الممكن إجراء العمليات الحسابية العادية على الأعداد العقدية، كالجمع و الطرح و القسمة و الضرب، تمامًا كالأعداد الحقيقية، و لكنها أيضـًا تتمتع بخصائص أخرى تمكنها من حل كافة المعادلات الجبرية العادية التي يصعب حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط.
و أحيانـًا قد يكتب العدد العقدي z على الصورة z = a + bj (خصوصـًا في مجال الهندسة الكهربية، لأن i هو رمز التيار الكهربي)

التعريف
إذا فرضنا أن z هو عدد مركب، و a و b هما عددان حقيقيان، و i هو عدد تخيلي، فمن الممكن تمثيل العدد المركب z كما يلي:

عدد عقدي تمثيل الأعداد المركبة
يكتب العدد المركب z جبريًا بالشكل: z = a + bi,

التمثيل الجبري
يكتب العدد على شكل cos a+ i sin a,

التمثيل الهندسي
يكتب العدد على شكل k .^ie,

التمثيل الأسي

الحساب في مجموعة الأعداد العقدية
تتم عملية الجمع كما يلي:
(a + bi) + (a' + b'i) = (a + a') + (b + b')i ,

الجمع
تتم عملية الضرب كما يلي
(a + bi)  (a' + b'i) = (aa' - bb') + (ab' + a'b)i ,

الضرب
تتم عملية القسمة كما يلي:
frac{a + bi}{a' + b'i} = frac{(aa'+bb')+i(a'b-ab')}{a'^2+b'^2},

مرافق عدد عقدي
مرافق العدد العقدي a + bi, هو العدد العقدي a - bi, .
مرافق العدد العقدي z نرمز له ب:bar{z}

تعريف

مرافق مجموع عددين عقديين هو مجموع مرافق كل من حدي المجموع
مرافق جداء عددين عقديين هو جداء مرافق كل من حدي الجداء الأعداد المترافقة و العمليات
جدر مربع جداء عدد عقدي في مرافقه يسمى معيار العدد العقدي

التمثيل الهندسي للأعداد العقدية
المستوى mathcal{P} منسوب لمعلم متعامد ممنظم، التطبيق الذي يربط كل عدد عقدي جزؤه الحقيقي a و جزؤه التخيلي b بالنقطة M من mathcal{P} التي أفصولها a و أرتوبها b ، هو تطبيق تقابلي و العدد العقدي a + bi, يسمى 'لحق' النقطة M.

No comments: